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2017考研高数四大定理:求导公式的证明

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求导公式的证明

  2015年真题考了一个证明题:证明两个函数乘积的导数公式。几乎每位同学都对这个公式怎么用比较熟悉,而对它怎么来的较为陌生。实际上,从授课的角度,这种在2015年前从未考过的基本公式的证明,一般只会在基础阶段讲到。如果这个阶段的考生带着急功近利的心态只关注结论怎么用,而不关心结论怎么来的,那很可能从未认真思考过该公式的证明过程,进而在考场上变得很被动。这里给2017考研学子提个醒:要重视基础阶段的复习,那些真题中未考过的重要结论的证明,有可能考到,不要放过。

  当然,该公式的证明并不难。先考虑f(x)*g(x)在点x0处的导数。函数在一点的导数自然用导数定义考察,可以按照导数定义写出一个极限式子。该极限为“0分之0”型,但不能用洛必达法则,因为分子的导数不好算(乘积的导数公式恰好是要证的,不能用!)。利用数学上常用的拼凑之法,加一项,减一项。这个“无中生有”的项要和前后都有联系,便于提公因子。之后分子的四项两两配对,除以分母后考虑极限,不难得出结果。再由x0的任意性,便得到了f(x)*g(x)在任意点的导数公式。

  类似可考虑f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)/g(x)的导数公式的证明。

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